TURUNAN DIFERENSIAL dan RUMUS-RUMUS

I.       TURUNAN/DIFERENSIAL

Mis: y=f(x)

Turunan 1 dari f(x) diberi rotasi  atau  atau  atau

(i)     Rumus-Rumus

•     Jika      : y=           =an  
•     Jika      : y=k                              Ke bilangan real 
•     Jika      : y=              = 
•    Jika      : y=              =.ma 
•   Jika      : y=lnx             y’= 
•   Jika      : y=                  =
• Jika      : y=                      = 
•   Jika      : y=                     = 
•   Jika      : y=                     =

• Jika      : y=                     = 

•  Jika      : y=                   = 

•   Jika      : y=f(x)

  y’=f(x) . + inf(x).

Aturan Rantai

 =  atau =    

Sifat-Sifat

• Jika      : y=

  = 

•  Jika      : y=

              =

•  Jika      : y 

            

•    Jika      :  y=f(u) dan u.

            =

Contoh :

9.  ( 3)

     ……?

Mis: 3

          12

         dy=             

          

          (12)

        

INTEGRAL

            Intergral sebagai anti differensial.

Jika : y= f(x)

Dan : =  = f(x)

Maka :

Contoh :

1.f(x) =               = 2x                 

2. f(x) = sin x                     = cosx              

I.       Integral Tak Tentu

Jika : f(x) =                   = 2x                 

                 f(x) =            = 2x                 

                 f(x) = 0         = 2x                 

                 f(x) =            = 2x                 

      Maka : : +c

II.    Sifat-Sifat

(i)     

(ii)  

III. Rumus-Rumus Dasar

1.      dx =  +c

2.       dx = In 1

3.      dx = +c

4.      dx =  

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10. 

11.   dx = arc

12.   dx = arc

13.   dx = arc  

14. 

15. 

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

 dx =

Contoh :

1.     

Solusi :

Mis : u= x+2

= 1

Maka :  du

                                      =  +c

                                      =

2.       x dx =…

Solusi :

Mis : u = x

=

2du= dx

Maka :  x dx =

                                    2

                                    2 sin u + c

                                    2 sin  x + c

INTEGRAL PARSIAL

            Dalam pengerjaan integral, kadang-kadang tidak mendapatkan penyelesaian atau jawaban karna terjadi proses yang berulang-ulang atau semangkin rumit. Sehingga digunakan rumus lain yang lebih mudah yaitu integral parsial.

Rumus:

Contoh :

1. dx=

         Cara1:

         Mis: u=x

                 du=dx

         Cara2:

         Mis: u=           x= 2log u

                 =  

                

                 du=               du=u.dx

                                                =dx

          dx =

                          =

                          =

Dengan integral parsial

  = uv -

              = x-  dx

              = x -

Mis :

u = x

du= dx

dv =

 dx

      v =  

INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL

Pn(x) = + + + +  

dengan   0 dinamakan polynomial (fungsi suku banyak) berderajat n.

Fungsi konstan  dapat dipandang sebagai polynomial berderajat nol.

Fungsi pecah rasioanl adalah fungsi berbentuk  dengan N(x) dan D(x) polynomial-polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut:

1.      Keadaan N(x) =

Jika N(x) =  maka berdasarkan rumus diperoleh :

 dx = ln ld (x) l + c

2.      Keadaan derajat N(x)  derajat D(x) lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh :

 = Q(x) +  dengan derajat R(x) < derajat D(x).Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.

Contoh :

·          dx =  dx =

·          dx = - 6x + 4 +  dx

kepada pembaca dipersilahkan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh tersebut dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) .

3.      Keadaan derajat N(x) < derajat D(x)

Pada pembahasan ini N(x)  tanpa mengurangi pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah 1 (satu). Untuk menghitung  dx terlebih dahulu integral dipisah menjadi pecahan-pecahan parsialnya.

Contoh :

 dapat dipecah menjadi pecahan parsial.

 +

 Jadi :

 dx +

                             =  dx

                             = lnlx-1l-10lnlx+2l+15lnlx+3l+c

Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisalan   menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari cara memisah   menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.

·         Memisah pecahan menjadi pecahan parsial dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan :

1.      Derajat N(x) < derajat D(x)

2.      Koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah 1.

3.      N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai factor persekutuan.

            Menurut factor D(x) dalam memisahkan  menjadi pecahan-pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan yaitu :

a.       Semua factor D(x) linear dan berlainan.

b.      Semua factor D(x) linear tetapi ada yang sama(berulang).

c.       D(x) mempunyai factor kuadrat dan semua factor kuadratnya berlainan.

d.      D(x) mempunyai factor kuadrat yang sama.

 =  dx

                  =  dx

                  =  dx

                  = dx

                  =

                  =

                  =  + c

                  =  

INTEGRAL TERTENTU

Untuk : f(x) dan g(x) yang kontiniu pada interval a

Maka :  = f(b) – f(a)

Sifat-Sifat Dasar

1.     

2.     

3.     

4.     

Contoh :

1.     

               = 2 -

2.     

               =

3.     

                    = -cos

                    = -(-1) – (-1)

                    = +1+1

                    =2